Мартовский кот

ПОЦ: выпуск 2. Размышления о линзе и ее аберрациях

"В предыдущих сериях":
Введение

Приветствую всех, кто это остался с нами после первого выпуска популярного оптического цикла (ПОЦ). Пользуясь случаем, я хочу поблагодарить всех тех, кто оставил довольно лестные комментарии к первому выпуску. Это было очень приятно. Если кто-то желает "быстро присоединиться" к чтению цикла, то отсылаю единственно к первому параграфу предыдущего выпуска, ибо, как я раньше писал, этого достаточно для чтения текущего материала.
Второй выпуск так долго верстался по многим причинам - с одной стороны было немного времени, с другой - просто не хотелось иногда этим заниматься, когда оно было, с третьей - здесь надо было сделать очень много рисунков (которые мне потом надоело делать и я просто спер почти все иллюстрации к аберрациям из википедии). Кроме того, мне тяжело было определиться в отношении того, ЧТО именно писать и КАК это писать. Потому что на рассмотрение этих вещей в обычных курсах физики уходит не более 10 страниц, а в толстых книжках ни о чем про проектирование оптических систем (например см. [5]) на одну главу о преломлении и отражении лучей убито почти 10 страниц.
В этом выпуске речь пойдет о том, что составляет основу чисто оптических приборов - о "стёклушках", то есть о линзах как об основной детали оптических систем приборов. Вторую часть выпуска составит повествование об аберрациях. И если первую часть многие знают из школьного курса, то о второй там практически не говорится.


p.s. В наполеоновских планах было в этом выпуске также дать понятие оптических систем, их классификацию, а также рассказать про угловой эйконал и даже про зрение. Но когда я стал писать о линзе, то уже стало понятно, к чему это приведет - слишком большой объем выпуска. Поэтому оптические системы и угловой эйконал я переношу на следующий выпуск, а зрению думаю посвятить отдельный.

p.p.s. Как водится, буду благодарен за указанные опечатки и ошибки.



1. Размышления о линзе

В прошлом выпуске были приведены основные законы поведения лучей света. В частности, одним из основных являлся закон преломления света (1.1.1), который, напомню, выглядел так
\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{n_2}{n_1}
Это основной закон при анализе прохождения света через линзу. На самом деле именно такого рода закон лежит в основе работы программ типа ОПАЛ для расчета оптических систем.
Под линзой мы будем подразумевать некоторое тело ограниченное двумя преломляющими свет поверхностями. Немного расплывчато, но это я к тому, что линзы не обязательно из стекла. Основные типы линз приведены на рис.2.1

Рис. 2.1. Основные типы линз
рис. 2.1 Основные типы линз
Виды линз:

Собирающие - параллельные лучи проходящие через линзу, собираются в точке (в идеальном случае - рис. 2.2А). Этим свойством обладают линзы, которые утолщаются к центру.
 1 — двояковыпуклая
 2 — плоско-выпуклая
 3 — выпукло-выгнутая (положительный мениск - утолщение к середине)

Рассеивающие - параллельные лучи проходящие через линзу, расходятся (рис. 2.2Б). Этим свойством обладают линзы, которые в центре тоньше, чем по краям.
 4 — двояковогнутая
 5 — плоско-вогнутая
 6 — выпукло-вогнутая (отрицательный мениск - утонение к середине).

Рассмотрим некоторую абстракцию под названием "тонкая линза". Мы будем так называть линзу, у которой толщина намного меньше, чем радиусы кривизны ее поверхностей. На самом деле это линза у которой первая и вторая поверхности считают совпадающей. Ниже в этом параграфе будем рассматривать только такие линзы.

рис. 2.2. А - собирающая линза, Б - рассеивающая линза, В - оптический центр линзы
рис. 2.2. А - собирающая линза, Б - рассеивающая линза, В - оптический центр линзы

У каждой тонкой линзы есть фокус. Для собирающей линзы это точка в которой сходятся лучи параллельного пучка после преломления (рис. 2.2.А, она находится на оси), для рассеивающей линзы это точка, в которой сходятся продолжения лучей (рис. 2.2Б, пунктиром - она также находится на оси). В тонкой линзе есть единственная преломляющая поверхность - плоскость, нарисованная на каждом из рисунков пунктиром и находящаяся в центре линзы. Расстояние от этой плоскости до фокусов называется фокусными расстояниями линзы. Это важная характеристика. Плоскость, перпендикулярная главной оптической оси и проходящая через фокус называется фокальной.
Кроме того, в тонкой линзе существует точка, через которую лучи проходят не преломляясь. В симметричных линзах, таких как двояковыпуклые или двояковогнутые, эта точка находится в центре симметрии и называется оптическим центром линзы (рис. 2.2В).
Кроме того, у каждой линзы существует главная оптическая ось. Это ось проходящая через оптический центр и центры кривизны ее поверхностей. Остальные оси, проходящие через оптический центр называются побочными. Некоторые, кстати, этого не знают и всю жизнь недоумевают - если оптическая ось одна, то почему она главная? И где же тогда "не главные"?

Видеоролик, рассказывающий о фокусе и фокусном расстоянии линзы

Видеоролик о побочных оптических осях и фокальной плоскости

Кроме того, мы ограничимся рассмотрением лучей, проходящих достаточно близко к главной оптической оси линзы. Такие лучи называются параксиальными [от греч. para - около, и лат. axis - ось] или иногда "нулевыми".
На самом деле то, что изображено на рис. 2.2 есть ход лучей именно в тонкой линзе, т.к. там изображена условно единственная преломляющая поверхность вместо того, чтобы изобразить преломление на каждой из поверхностей раздела сред. Тонкая линза - абстракция. Но абстракция важная. На нее мы будем опираться, когда придется строить изображения в различных оптических системах. Конечно, аберрационный расчет (см. ниже) на тонкой линзе не проведешь, и точно оптическую систему не спроектируешь, однако принцип работы той или иной оптической системы виден совершенно отчетливо.

Существует "формула тонкой линзы", которая связывает между собой фокусные расстояния линзы, ее радиусы кривизны и показатель преломления. Выводить ее мы не будем, скажу лишь что для этого ничего кроме закона преломления не требуется (надо еще привлечь требование параксиальности лучей) и если кому-то интересно, то можете попробовать вывести сначала условие преломлния на сферической поверхности, а затем на двух таких поверхностях последовательно.
Итак, формула тонкой линзы имеет вид

\frac{1}{a_2} - \frac{1}{a_1}= \left ( \frac{n}{n_1}-1 \right) \left( \frac{1}{R_1}- \frac{1}{R_2} \right)
здесь
, - радиусы кривизны 1-ой и 2-ой поверхностей, соответственно (отмечены на рис.3 цифрами 1 и 2);
, - показатели преломления материала линзы и воздуха, соответственно;
, - расстояния от источника до поверхности линзы и от поверхности линзы до изображения, соответственно.
рис. 2.3 Преломление в тонкой линзе (пунктиром условно показана реальная поверхность линзы)
рис. 2.3 Преломление в тонкой линзе (пунктиром условно показана реальная поверхность линзы)

при этом надо помнить о знаках тех или иных величин и о том, что они отсчитываются от оптического центра (именно поэтому в формуле (2.1.2) AS идет с отрицательным знаком).

При построении изображения в тонкой линзе пользуются не законами преломления, а несколькими простыми правилами хода лучей, а именно
1. Лучи, идущие через оптический центр линзы не преломляются (сохраняют прямолинейность)
2. Луч идущий параллельно главной оптической оси после прохождения через линзу преломляется и идет через фокус (луч №1 на рис.2.4).
3. Луч, проходящий через фокус после преломления в линзе идет параллельно главной оптической оси (луч №2 на рис.2.4).
4. Луч, падающий на линзу под углом после преломления пересекает фокальную плоскость в точке, в которой ее пересекает луч, пущенный из оптического центра параллельно его первоначальному распространению (луч №3 на рис.2.4).

При помощи построения этих лучей можно построить изображение любой точки в линзе. Построим, для примера, изображение протяженного предмета и заодно обсудим понятие увеличения тонкой линзы.

рис. 2.4 Увеличение тонкой линзы
рис. 2.4 Увеличение тонкой линзы

Увеличением называется отношение высот V=DC/AB. Заодно из подобия следует V=BS/SD.


2. Понятие об аберрациях линзы

"Пока вы еще не успели прийти в восхищение от такой великолепной штуки, 
как линза, я должен успеть сказать об ее серьезных недостатках,                 
которые мы не могли заметить раньше, поскольку ограничились                    
рассмотрением параксиальных лучей"                                                                    
Ричард Фейнман [3]
 
Сейчас мы просто обсудим понятие аберраций линзы и их физическое происхождение. Глубоко вдаваться в это мы пока не будем, но, возможно, вернемся к этому вопросу позднее. У меня есть на это некоторые планы.

Ход лучей в реальной линзе отличается от хода лучей в тонкой линзе благодаря наличию у линзы конечной толщины. Поэтому возникают погрешности изображения - реальное изображение отличается от идеального, которое бы могло получится в тонких линзах. Эта погрешность называется аберрацией. Мы будем рассматривать так называемые аберрации третьего порядка или аберрации Зейделя. Что это значит я поясню как-нибудь потом. Важно, что они в первом приближении являются определяющими.

Аберрации бывают монохроматические и хроматические. Монохроматические возникают при работе линзы на монохроматическом свете (на конкретной длине волны), хроматические связаны с тем, что показатель преломления линзы зависит от длины волны.

Можно выделить следующие монохроматические аберрации
   - сферическая аберрация;
   - кома;
   - астигматизм;
   - кривизна изображения;
   - дисторсия.
Хроматические аберрации делятся на
  - хроматизм положения;
  - хроматизм увеличения.
Мы рассмотрим каждую из этих аберраций по отдельности, хотя надо заметить, что они всегда присутствуют одновременно.

Сферическая аберрация. Поверхности линз часто по технологическим соображениям делают сферическими. Это приводит к тому, что достаточно широкие пучки параллельных лучей не собираются в одной точке по другой стороне линзы, а растянуты некоторым образом по главной оптической оси. Этот эффект называется сферической аберрацией и характерен отнюдь не только для сферических поверхностей, а для любых, кроме тех, поверхность которых подобрана таким образом, чтобы устранить эффект сферической аберрации. Можно добиться достаточного хорошего устранения сферической аберрации, если комбинировать различные линзы. Этого эффекта можно добиться и в простейшей зрительной трубе с двумя линзами.

Схема возникновения сферической аберрации показана на рис. 2.5. На нем видно, что лучи, проходящие через края линзы пересекаются на главной оптической оси ближе к линзе, нежели лучи, проходящие ближе к центру линзы. Справа показано, что если поставить на пути лучей экран, то изображение будет иметь вид пятна. Также изображения круглого пятна будет иметь и точка.
рис. 2.5 Схема возникновения сферической аберрации
рис. 2.5 Схема возникновения сферической аберрации [7]

Кома [от греч. kóme — волосы] - явление, заключающееся в том, что точка пересечения наклонных пучков лучей с удалением от оптического центра смещается. Схема этого явления показана на рис.2.6. 
рис. 2.6. Образование комы
рис. 2.6. Образование комы [7]

Сферическая аберрация и кома обусловлены широкими пучками лучей. Это значит, что если направить на линзу узкий пучок, то эффекты сферической аберрации и комы будут тем меньше заметны, чем уже пучок.

Астигматизм [от греч. stigma — укол, пятно; метка на теле раба] - это вид аберрации при которой пучок лучей не сходится в общей точке, то есть не является гомоцентрическим (т.е. имеющим общий центр). На рис. 2.7 показан пучок после прохождения через линзу. При этом можно выделить две взаимно перпрендикулярые плоскости проходящие через главную оптическую ось - меридиональную и сагиттальную. Как видно, сущность астигматизма заключается в том, что в этих плоскостях лучи пересекают оптическую ось в различных точках. Причем в тех точках, где в одной плоскости лучи пересекаются, в перпендикулярной плоскости образуется линия (ее называют каустической поверхностью или иногда просто каустикой). Расстояние между этими точками есть мера астигматизма.

рис.2.7. Астигматический пучок лучей
рис.2.7. Астигматический пучок лучей [2]

Кривизна изображения - это аберрация, приводящая к тому, что изображение не находится строго в плоскости, перпендикулярной главной оптической оси, а неким образом искривлено (рис.2.8).
рис. 2.8. Образование кривизны поля изображения
рис. 2.8. Образование кривизны поля изображения [7]

Дисторсия [от лат. distorsio, distortio — искривление] - вид аберрации при которой увеличение различно в разных точках изображения. При этом может получится подушкообразная или бочкообразная дисторсия, которые изображены на рис.2.9. Для сравнения приведено идеальное изображение. Это всё в плоскости изображения (плоскость, перпендикулярная оптической оси, в которой мы хотим получит изображение).
рис.2.9. Идеальное изображения, подушкообразная и бочкообразная дисторсия
рис.2.9. Идеальное изображения, подушкообразная и бочкообразная дисторсия

Хроматические аберрации появляются из-за дисперсии вещества - зависимости показателя преломления от длины волны. На рис. показан классический опыт Ньютона с разложением белого света в цветной спектр при помощи стеклянной призмы - слева на призму падает белый свет (это совокупность света с различными длинами волн), а справа из нее выходит уже расходящийся пучок цветных лучей. Именно так и появляется хроматическая аберрация - она приводит к тому, что даже если на линзу падает белый свет, то изображение будет окрашенным.
рис. 2.10. Разложение белого света в спектр в призме
рис. 2.10. Разложение белого света в спектр в призме [7]

На рис. 2.11 показана аберрация - хроматизм положения. Видно, что лучи с разной длиной волны пересекают оптическую ось на разных расстояниях от линзы. То есть у каждой длины волны есть свой фокус и свое фокусное расстояние. Это приводит к тому, что вместо изображения точки мы получает набор цветных колец (сечение пучка показано на рисунке).
рис. 2.11. Хроматизм положения
рис. 2.11. Хроматизм положения [7]

Хроматизм увеличения вещь аналогичная, только она связана с тем, что для разных длин волн увеличение предмета различно (вместо четкой границы предмета увидим набор цветных полос).

3. Заключение и выводы

В общем, видно, что линза это не такой уж идеальный способ получения изображений. Однако, она является основной деталью в оптических системах приборов. Наверное уже стало понятно, что основной задачей оптической системы будет уменьшение аберраций. Но в то же время надо знать, что аберрации - вещь принципиально неустранимая. Можно уменьшить ту или иную аберрацию (при этом нередко остальные увеличиваются), однако устранить ее полностью нельзя. Поэтому приходится поступать следующим образом - в зависимости от назначения оптической системы минимизируется (или как говорят - исправляется) та или иная аберрация, которая в наибольшей степени мешает нормальной работе прибора. Задача эта не из простых, тем более, что внятной и последовательной процедуры создания действительно оптимальной оптической системы не существует.
Типы оптических систем приборов и аберрации, которые в каждом из типов являются основными для устранения, мы разберем в следующем выпуске.



Литература и ссылки

1. Ландсберг Г.С. Оптика. - 6-е изд. - М.:Физматлит, 2003. - 848 с.
2. Родионов С,А. Основы оптики (конспект лекций). СПб.: ЛИТМО, 2000.
3. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике т. 3
4. Трофимова Т.И. Курс физики. - 15-е изд. - М.: Академия, 2007. - 560 с.
5. Заказнов Н.П., Кирюшин С.И., Кузичев В.И. Теория оптических систем. 4-е изд. - СПб.: Лань, 2008. - 448с.
6. Прикладная оптика/ Под ред. Н.П.Заказнова. 3-е изд., СПб.: Лань, 2009. - 320 с.
7. Википедия (http://ru.wikipedia.org) - рисунки к аберрациям.


  • Current Location: дома
  • Current Mood: accomplished done!
интерсно читать :) спасибо
кстати, а вы в чём иллюстрации рисуете?

ps одна неясность, вы пишете по сферической абберации "Поверхности линз часто по технологическим соображениям делают сферическими", вместе с тем, казалось бы, все рассуждения строятся на этой самой сферичности (поверхности характеризуются чисто радиусом).. так в чём противоречие?
Тут нет противоречия. Действительно, стандартные рассуждения и стандартные подходы касаются линз со сферическими поверхностями. Это вообще некие стандартные линзы, которые используются в подавляющем большинстве случаев.
Асферика - это технологически сложно (и изготовить и контролировать также), это трудно рассчитать, и делается только в том случае, если оно действительно необходимо. Там уже поверхность задается на радиусом, а своим уравнением.

З.Ы. Иллюстрации? Смотря какие. Первые две в КОМПАСе, 4-ая вообще в paint (тогда под рукой ничего не было), к аберрациям спёрты из вики, как я и писал во введении и в соответствии со ссылками в подрисуночных надписях.

Edited at 2010-02-01 02:30 pm (UTC)
(Anonymous)
меня что удивило -- это то что вроде теория излагается для сферических поверхностей, а потом, мол, поскольку их технологически просто изготовлять, вот такие вот аберрации (будто одно другому противоречит..).

NB я не собираюсь настаивать, мне просто как дилетанту показалось неясно.
Я все равно не понимаю, в чем здесь противоречие.
(Anonymous)
"Центр линзы" - это авторский термин такой? надо комментировать такое.
Зачем комментировать? Оптический центр линзы - термин совершенно нормальный и оптический. Он используется, например, в [1, стр.264]. Если Вы не знакомы с оптикой, то из моего изложения понятно, что это точка линзы, проходя через которую, лучи не испытывают преломления. Если же Вы с оптикой знакомы, то для тонкой линзы это ее главные точки H и H', которые, в связи с ее тонкостью, совпадают. Это и будет оптическим центром линзы.

Edited at 2010-08-12 08:37 pm (UTC)
выгнутая или все-же вогнутая?
(Anonymous)
3 — выпукло-выгнутая (положительный мениск - утолщение к середине)

при покупке линзы в оптике, продавцы долго смеялись когда я попросил выпуклую линзу в 5 диоптрий...

отрицательная по их терминологии оказалась впуклой, а положительная выгнутой :)))