Dr B Mad

Параметрический резонанс и уравнение Матье

Пока готовится новый выпуск ПОЦ, а он немного залежался надо сказать в полуготовом состоянии, захотелось мне написать что-то на отвлеченные темы. Ну вернее не совсем отвлеченные - просто в последнее время мне пришлось с этим много работать. Поэтому мне удобно это писать из головы, никуда не заглядывая.

Вот есть такая интересная штука, которая зовется параметрическим резонансом. Только мало кто про нее знает почему-то. Тот резонанс, про который обычно в школе и на общей физике толкуют это резонанс линейный. Он характерен тем, что частота какого-либо внешнего воздействия приближается к какой-то определенной резонансной частоте системы. Ну, к примеру, подталкиваете Вы качели, а они все раскачиваются и раскачиваются. Если, конечно, Вы попадаете в такт. Иначе будет обратный эффект. Попадание в такт и есть совпадение частот. А вот если никто качели не подталкивает, а точка их крепления понемногу колеблется. Или, что еще чаще встречается, Вы раскачиваете ногами, чтобы увеличить амплитуду раскачивания качелей. Это уже параметрический резонанс. В чем отличие?

Очень часто системы для которых характерен параметрический резонанс описываются уравнением Хилла, которое записывается в таком виде

Но для принципиального анализа оно не нужно - дополнительной физики оно не вскрывает. Поэтому мы обратимся к анализу более простого уравнения, содержащего только один член ряда (а точнее его действительную часть). Это уравнение Матьё, которое обычно записывают так

Как видно, если положить q=0, то это обычное, самое примитивное, уравнение осциллятора. Но вот это q с косинусом вносит в это уравнение определенную пикантность, добавляет ему, так сказать, сексуальности; причем очень часто бывает, что q это какой-то малый параметр.

Решение уравнения Матье выражается через функции Матье. Вот такая загадка. Это спецфункции, но мы не будем туда зарываться. Есть еще подход Хилла, который основан на анализе бесконечного определителя коэффициентов при членах ряда в форме которого ищется решение (2). Это тоже очень интересно, но, увы, слишком громоздко и узкоспециализировано, чтобы здесь было рассказано. Но есть много хорошей литературы на эту тему - одним из хороших источников считается Уиттекер и Ватсон "Курс современного анализа"; кое-что есть также в книже В.И.Арнольда по ОДУ.

Так вот. В чем же особенность уравнения (2). Особенность в следующем - существуют "зоны" значений параметров ω и q в которых уравнение (2) имеет экспоненциально нарастающее решение (оно представляется в виде произведения экспоненты и какой-то периодической функции). Вот эту картинку я и хотел показать.

Эти кривые есть границы, которые разбивают всю плоскость на устойчивые и неустойчивые зоны (внутри "птичек" решение устойчиво). Как видно, отличие параметрического резонанса от линейного является то, что здесь существуют целые частотные области резонанса, в то время как в линейном резонансе речь идет о конкретной частоте. Также отличием является наличие ненулевых начальных условий.
очень интересно. про уравнения матьё и хилла я не знал
вот. значит польза какая-то извлечена из опуса.
Спасибо. Чрезвычайно интересно. Тебе бы учебники писать. Мало воды, всё по делу и, как правило, достаточно доходчиво.
спасибо, конечно. но я думаю что до этого мне еще очень далеко.
Интересно, спасибо. Тема непростая, завидую, что вам удаётся просто из головы о таких фишках писать, респект.

Однако,
1. не узнав диаграмму айнса-стретта в лицо, полез в гугл, первая ссылка выпала такая:
http://www.rusnauka.com/29_NNM_2008/Matemathics/35825.doc.htm
там уравнение (4) -- как ваше, а диаграмма -- дюже отлична..
http://www.rusnauka.com/29_NNM_2008/Matemathics/35825.doc.files/image111.gif
не поясните?
2. по-моему, разкачивание ногами -- всё же просто вынужденные колебания, ведь с первого же маху отлоняемся

удачи
Интересно, спасибо. Тема непростая, завидую, что вам удаётся просто из головы о таких фишках писать, респект.

Учитывая дальнейшее, чувствую адский стёб в "голосе" :)

1. не узнав диаграмму айнса-стретта в лицо, полез в гугл, первая ссылка выпала такая:
http://www.rusnauka.com/29_NNM_2008/Matemathics/35825.doc.htm
там уравнение (4) -- как ваше, а диаграмма -- дюже отлична..
http://www.rusnauka.com/29_NNM_2008/Matemathics/35825.doc.files/image111.gif
не поясните?

На самом деле да. Уравнение моё, конечно, не совсем такое - там и периоды немножко другие, коэффициент в два раза меньше, ну и, наконец, я строил не от квадрата частоты, а от самой частоты. Но. Важнее, разумеется, то, что я раскрыл только один определитель. С остальными мне как-то лениво было возится и написал, я, как следствие, глупость. То есть речь идет о решениях только одного периода. Строго говоря, надо было сказать так - на тех кривулях, которые у меня нарисованы существуют решения периода пи. А вне их - вообще говоря, таких решений нет. И в основном там тусуются неустойчивые решения. Но среди них находятся и решения других, кратных, периодов.
Сделаю в основной записи соответствующую заметку. Спасибо за замечание.

2. по-моему, разкачивание ногами -- всё же просто вынужденные колебания, ведь с первого же маху отлоняемся

Тут не соглашусь. Раскачивание ногами - изменение момента инерции. А значит частота будет зависеть от времени соответствующим образом. Причем, изменения момента инерции можно считать не слишком большими, тогда можно все это разложить в ряд и получить уравнение Матье.
>>стёб в "голосе" :)
нет, я безо всяких, у меня просто вид этой диаграммы запечатлелся на задней стенке черепа оттого что я её не понял на лекциях по теории устойчивости :-]
Так что спасибо за то, что вызвали Матье из пучин моего подсознания, попробую вникнуть на этот раз.
А насчёт качелей, наверное, да, периодическое изменение момента инерции, конечно должно приводить к параметрическому резонансу, НО. по-моему, ногами субъект выдаёт скорее кинематическое возбуждение.. да и частоты, по-моему, совпадают.
Я не поленился и раскрыл остальные определители. Так что теперь я в основном тексте привел полную и правильную диаграмму Айнса-Стретта.

НО. по-моему, ногами субъект выдаёт скорее кинематическое возбуждение.

Можно этот момент поподробнее?

да и частоты, по-моему, совпадают

Смотря как ногами качать :)
ну, я думаю, как-то так
набросал вот навскидочку...
обозначения, я думаю, довольно естественные... но могу и пояснить в случае чего
если кто найдёт что подправить, буду только рад
Знакомая вещица... Помницца, когда-то я пытался численно оценить резонансную частоту собственных колебаний дек скрипки, ну и решить, так сказать, обратную задачу, найти нужное распределение толщин дек скрипки чтобы правильно ее настроить... Но потом запутался, так как был молодой, возможно когда-нить повторю этот подвиг.
и там должен был быть параметрический резонанс? а что там на что влияет?
Да, в чистейшем виде. Струна является генератором пилообразных колебаний, не буду объяснять умным людям, в какой спектр они раскладывается. Далее, деки скрипки имеют несколько собственных мод колебания и в зависимости от соотношения настройки этих мод можно создать нужный "голос инструмента".
Влияет частоты вынужденных колебаний, на амплитуду колебания дек, в конечном счете.
Эх, я тож один раз покалупался с уравнением Матьё...
История такая: у вибро-частотных датчиков есть такой фифект (не у всех, а только сделанных с определёнными недочётами) - в определённом интервале нагрузок у струны (рабочая часть измерительной системы) резко падает амплитуда и частота автоколебаний...
Попросили разобраться с данным казусом... У меня возникла гипотеза, что это возникает параметрический резонанс с мембраной через цанги, которые связывают струну с мембраной... Естественно, вспомнил про уравнение Матьё... Гипотеза оказалась неверной - механизм затухания автоколебаний струны происходил совсем по другому сценарию, нежели в случае параметрического резонанса...
Правда, похвалюсь, задачу эту я всё равно решить смог - это оказался опять же нелинейный эффект, известный уже давольно давно - самомодуляция (модуляционная неустойчивость)... Очень красивое явление, даже поэтическое - волны борются друг с другом благодаря наличию нелинейности, тогда как в линейном случае они друг друга не замечали... ))
Этот комментарий исключительно тестовый, с целью доведения числа комментариев к записи до 31 в связи с Вашим запросом на форуме поддержки. Данный комментарий можно удалить.