Мартовский кот

ПОЦ: выпуск 1. Введение в оптику

Ну вот наконец-то я дописал нечто похожее на первый выпуск популярного оптического цикла (ПОЦ) как я его планировал. Хотя в связи с навалившимися под конец года проблемами самое смешное оказалось в том что он практически месяц лежал в почти готовом виде - надо было просто дописать один из разделов. Просто в ЖЖ я совсем не выходил.

Введение

Это первый выпуск популярного оптического цикла (ПОЦ). Если читать его целиком, то он может оказаться самым сложным главным образом потому, что он является теоретическим введением. Поэтому структура записи следующая - в первом параграфе изложено очень просто и популярно то, что в принципе достаточно знать для того, что я буду потом рассказывать о приборах (то, что понадобится еще, я буду потом рассказывать по ходу изложения). Т.е. те, кому этого достаточно могут дальше не читать. Во втором параграфе написано откуда берется геометрическая оптика, каковы условия ее использования, из каких принципов могут быть выведены основные законы. Все это неплохо знать для понимания оптических законов. Но для этого надо быть знакомым с физикой хотя бы в рамках общего курса физики для технических вузов. В третьем параграфе рассказывается о чуть более сложных вещах, т.е. его можно пометить звездочкой :). Некоторые вставки и примечания, которые тоже можно при чтении основного текста пропустить написаны мелким шрифтом. Вопросы по изложению, разумеется, приветствуются, также как и замечания о недочетах и ошибках, если таковые найдете. Это может способствовать улучшению выпуска.
 


§ 1. Основные законы геометрической оптики

Основных законов геометрической или лучевой оптики - четыре. С помощью этих законов можно понять работу основных оптических приборов. Практически все они были известны еще во времена Евклида. Это основа той науки, которую изучают на кое-каких инженерно-оптических кафедрах. Времен старинных, еще до нашей эры. Но некоторым и это не дается. Итак, этими законами являются:
  1. Закон прямолинейного распространения света.
  2. Закон независимости распространения лучей.
  3. Закон отражения света.
  4. Закон преломления света.
Первые три закона были безоговорочны известны Евклиду (ок. 300 г. до н.э.). Сам факт преломления на границе знал Аристотель (384-322 г. до. н.э.), но точный закон ему не был известен. Что касается последнего, то он был открыт Снеллиусом (1591-1626) в неопубликованном сочинении. Впервые опубликовал его Декарт в "Диоптрике" в 1637 году.

Закон прямолинейного распространения света гласит, что свет в однородной среде от одной точки к другой распространяется по прямой линии. Однородность здесь важна - иными словами свет из точки в воздухе в точку в воздухе, если между этими точками нет ничего, кроме воздуха, распространяется по прямой линии. Если же между этими точками есть что-то или вторая точка находится не в воздухе, а в воде, то между этими двумя точками свет будет распространяться не по прямой линии.

Закон независимости распространения световых лучей представляет собой провозглашение принципа суперпозиции: лучи не влияют друг на друга. Таким образом, если два луча встретятся в одной точке, то каждый из них продолжит свой путь как будто второго луча нет. Законы отражения и преломления описывают поведение лучей света на границе между двумя средами.

Законы прямолинейного распространения и независимости световых лучей демонстрируются на следующем видео


Закон отражения в одной из формулировок гласит, что луч падающий на поверхность раздела и луч отраженный от этой поверхности, а также нормаль к этой поверхности лежат в одной плоскости. Кроме того, угол между лучом падающим и нормалью, а также между углом отраженным и нормалью равны между собой. То есть падающий и отраженный лучи лежат в плоскости, перпендикулярной поверхности раздела сред. И "угол падения равен углу отражения" (см. рис.1) α=β.

Закон отражения демонстрирует следующий ролик


Закон преломления описывает прохождение света через границу раздела. При этом, как известно, он испытывает преломление, т.е. изменяет свое направление. Этот закон утверждает, что луч падающий, луч преломленный и нормаль к поверхности раздела лежат в одной плоскости, а углы между нормалью и падающей и отраженной волнами связаны следующим соотношением (см. рис.2).
или, что то же самое
\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{n_1}{n_1}
Закон отражения и преломления
При этом величина n называется показателем преломления среды (1ой и 2ой соответственно) и определяется как отношение скорости света в вакууме к скорости света в этой среде. Поэтому показатель преломления всегда больше единицы. На самом деле свет на границе раздела производит комбинацию этих действий - часть света проходит в следующую среду (по закону преломления света), а другая часть отражается от поверхности (по закону отражения).

Следующее видео демонстрирует закон преломления света


Существуют, однако, такие углы падения при которых свет не будет проходить через границу раздела, а будет полностью от нее отражаться. Такие углы называются углами полного внутреннего отражения. Явление полного внутреннего отражения широко используется в оптической технике. Найдем этот угол. Согласно закону преломления (1.1) для того, чтобы свет не прошел в среду 2 необходимо, чтобы угол β стал равен прямому углу, иными словами sinβ должен быть равен 1. Откуда находим соотношение для угла полного внутреннего отражения
Из этого выражения видно, что если показатель преломления второй среды больше показателя преломления первой среды, то синус угла больше 1, чего быть не может. Следовательно, полное внутреннее отражения может наблюдаться только при переходе из среды с большим показателем преломления в среду с меньшим показателем преломления. Таким образом, если свет из среды 1 падает в среду 2 под таким углом α, что его синус равен отношению показателей преломления среды 2 и среды 1, то этот свет отражается от границы полностью, т.е. не проходит в среду 2. Оценим этот угол для случая падения света из стекла в воздух. Показатель преломления воздуха обычно считается равным 1 (т.е. свет в нем распространяется примерно как в вакууме), а показатель преломления стекла в среднем около 1.5. Тогда
Угол соответствующий такому синусу составляет примерно 42°. На этом принципе основана работа призм полного внутреннего отражения - для того, чтобы свет не вышел из стекла с достаточной точностью можно сделать наклон 45°. На рисунке ниже показана призма полного внутреннего отражения обращающая лучи. То есть на выходе получается перевернутое изображение. Также это явление используется в оптоволокне.
призма полного внутреннего отражения
Посмотрим видео рассказывающее о полном внутреннем отражении

Вообще-то свет это волна. А волны обладают дифракцией, т.е. имеется отклонение от прямолинейного распространения. Геометрическая оптика применима в том случае, когда длина волны стремится к нулю, что бы это ни значило. Более подробно см. ниже.

§ 2. Физические основы оптики. Шкала электромагнитных волн.

Законы геометрической оптики могут быть выведены на основе различный более общих положений. В этом параграфе мы залезем немного вглубь физики, чтобы проследить откуда берется геометрическая оптика и вообще пролить больше света на явление света!

Уравнения Максвелла. Как было показано Максвеллом (1831-1879) между светом и электромагнитными явлениями существует глубокая аналогия. В частности скорость распространения электромагнитных волн равна скорости света. Иными словами, свет это электромагнитная волна. Все явления связанные с электромагнитным полем могут быть описаны при помощи уравнений Максвелла:

где E - вектор электрического поля, H - вектор магнитного поля. Здесь приведены уравнения для вакуума. Из этих уравнений следует, что при наличии нестационарной части у полей E и H они имеют ненулевые решения и в вакууме, иными словами в вакууме могут существовать электромагнитные поля. При этом уравнения (1.2.1) называются первой парой уравнений Максвелла, а пару (1.2.2) - второй парой уравнений Максвелла. Наши уравнения записаны в вакууме, без зарядов и токов.

Электромагнитные волны. Комбинируя уравнения (1.2.1) и (1.2.2) (хотя проще это получить введением 4-потенциала, однако мы этим не будем заниматься) получим волновое уравнение для электромагнитной волны
здесь под f подразумевается любая из величин E или H, с - скорость света (скорость распространения электромагнитных волн). А оператор Лапласа для каждой i-ой компоненты вектора f в прямоугольных декартовых координатах имеет вид
Уравнению (1.2.3) подчиняются любые волны, но наибольший интерес представляет подкласс этих волн, называемый гармоническими волнами. Гармоническая волна - это волна изменяющаяся по косинусу или синусу.
f_i (\vec r,t)= A_i \sin (\omega t - (\vec k, \vec r))
где А - амплитуда волны (индекс i означает, что рассматривается ее i-ая компонента), ω - круговая частота волны (которую обычно называют просто частотой), t - время, k - волновой вектор, r - радиус-вектор рассматриваемой точки. Оператор (,) означает скалярное произведение векторов. Выражение в скобках под знаком синуса называется фазой волны.

Частота и длина волны. Проанализируем более детально выражение (1.2.4) для гармонической волны. Нетрудно понять, что в силу того, что функция описывающая эту волну периодична, у волны есть периодические характеристики. Во-первых очевидно, что если к фазе прибавить период (т.е. 2π), то функция не изменится. Рассмотрим для простоты одномерную волну, характеристики которой зависят только от одной координаты х. Тогда ее можно записать в виде
f (x,t)= A \sin (\omega t - k x) \eqno(1.7)
Видно, что если прибавить к x число 2π/k, то функция не изменится. Т.о. по координате х можно ввести период
\lambda = \frac{2 \pi}{k}
Этот период называется длиной волны. В то же время можно прибавить ко времени t число 2π/ω. Это число называется периодом
Иногда вместо круговой частоты используют обычную, которая связана с ней простым соотношением
\nu =\frac{ \omega}{2 \pi}
Эта частота измеряется в обратных секундах (1/с) или Герцах (Гц).

Шкала электромагнитных волн. Не каждая электромагнитная волна является светом. С электромагнитными волнами связан большой набор явлений - это и радиоволны и рентген и гамма-излучение. Свет делится на видимый диапазон, доступный нашему восприятию, инфракрасный и ультрафиолетовый. Существует некое условное разделение по длинам волн, которое приведено ниже. Но стоит еще раз подчеркнуть, что оно условное - то есть никаких качественных изменений на границах не происходит.
спектр
Видно, что электромагнитные волны это многогранное явление. Снизу цветным показан видимый спектр, т.к. это тот диапазон, который непосредственной воспринимает такой приемник излучения как человеческий глаз. В сторону увеличения длин волн (и уменьшения частоты соответственно) идут сначала инфракрасное излучение (от infra - ниже, под - здесь имеется в виду линейка частот), затем микроволны и за ними радиоволны различной длины. В сторону уменьшения длин волн (и увеличения частоты) идут ультрафиолетовое излучение (от лат. ultra - сверх, чрезмерно), за ним рентгеновские лучи (по английски это X-rays) и самые короткие длины волн у гамма-излучения.

Условия на границе раздела сред. Формулы Френеля. Мы обсудили как связаны углы хода лучей при падении на границу раздела, однако совершенно не затронули вопрос об интенсивностях этих лучей. Иными словами мы никак не касались вопроса о том какая же часть светового потока в действительности проходит через границу и какая часть отражается. На границе раздела сред как магнитное так и электрическое поля испытывают преломления. Причем у электрического поля E и магнитного поля H при этом сохраняется касательная к поверхности раздела компонента. Из этих условий легко провести вывод законов отражения и преломления для световых волн, однако мы этим, в силу некоторой громоздкости, заниматься, конечно, не будем. Однако оттуда можно выудить связь между показателем преломления и диэлектрической и магнитной проницаемостью сред, которая вскрывает физику показателя преломления.

где ε - диэлектрическая проницаемость вещества, μ - магнитная проницаемость. Однако в оптике обычно рассматриваются среды в которых магнитная проницаемость около единицы, поэтому получается более просто
Эта формула показывает, что чем сильнее диэлектрические свойства материала (грубо говоря, чем меньше в нем "свободных" электронов), тем с меньшей скоростью в нем распространяется свет.
Обсудим вопрос об интенсивностях. Приведем формулы для коэффициена отражения r (это отношение амплидут падающей и отраженной волн) и коэффициента пропускания t (отношение амплитуд падающей и прошедшедшей волн) для волн поляризованных  параллельно и перпендикулярно плоскости падения

r_{||} = \frac{E_{r ||}} {E_{i ||}} = - \frac{ (\phi - \psi) } {tg (\psi + \phi)}
t_{||}= \frac{E_{d ||}} {E_{i ||}}=\frac{ 2 \sin \psi \cos \phi} {\sin (\phi + \psi) \cos (\phi - \psi)}
и перпендикулярной плоскости падения
r_{\perp } = \frac{E_{r \perp }} {E_{i \perp } } = - \frac{\sin (\phi - \psi)}{\sin(\phi + \psi)}
   t_{\perp } = \frac{E_{d \perp }} {E_{i \perp } } = \frac{ 2 \sin \psi \cos \phi}{\sin(\phi + \psi)}
где φ -  угол падения, ψ - угол преломления, r, i, d - индексы отраженной, падающей и прошедшей волны соответственно. Эти формулы называются формулами Френеля.
Что такое поляризация мне сейчас не очень хочется подробно объяснять, мы к этому вернемся, когда будем говорить о поляризационных приборах. Но вообще следует сделать вот какие замечания. Как я уже сказал, колебания в электромагнитной волне являются поперечными - то есть векторы E и H колеблются в направлениях, которые перпендикулярны направлению распространения волны. Причем в общем случае естественного света направления этих колебаний распределены равномерно вокруг направления распространения. В этом случае можно разложить колебания какого-либо из векторов волны на две составляющие - одна из них колеблется в определенной плоскости (в нашем случае это плоскость падения), а вторая - перпендикулярна ей. Свет можно сделать таким, чтобы он колебался в определенной плоскости (линейная поляризация). Это делается с помощью поляризаторов.
Из формул Френеля можно, в частности, сделать вывод, что свет при отражении и преломлении поляризуется. На этом основана работа поляризаторов - дальнейшее разделение поляризованного в разных плоскостях света производится с помощью кристаллов, у которых показатель преломления в разных направлениях неодинаков, что позволяет отклонять лучи разной поляризации.
 
Приближение геометрической оптики. Возникает вопрос об условиях при которых допустимо рассматривать световые явления с точки зрения геометрической оптики. Я думаю после того как мы кое-что обсудили из оптики, ответ стал более или менее понятен - геометрической оптикой можно пользоваться в том случае, если длина волны света мала по сравнению с характерными размерами рассматриваемых явлений. При этих условиях мы можем пренебречь дифракционными явлениями (отклонением света от прямолинейного распространения, которое обычно происходит вблизи острых углов и при прохождении света через очень малые отверстия; как раз настолько малые, что их размер становится сравнимым с длиной волны).

Принцип Ферма. Это вариационный принцип сформулированный П.Ферма в 1662 году как наиболее общий принцип геометрической оптики. Он гласит, что свет распространяется по наименьшему оптическому пути (оптический путь - это произведение расстояния на показатель преломления вещества в котором свет распространяется). Или, что то же самое, свет из точки А в точку В проходит по пути, требующему минимального времени.
В более аккуратном виде принцип Ферма формулируется несколько сложнее. С этой формулировкой можно ознакомиться в книге [3] т.к. это, опять же, уводит нас с пути нашего вводного повествования.

Принцип Гюйгенса. Принцип этот гласит, что каждая точка пространства в котором распространяется свет является источником вторичной волны. На самом деле исторически считается, что Гюйгенс был основателем волновой оптики, однако на деле ничего подобного не было. Дело в том, что принцип Гюйгенса в том виде в котором он был им предложен являлся всего лишь принципом геометрической оптики. Из этого принципа вполне можно вывести законы отражения и преломления. Однако закон этот не дает никакой информации об интенсивностях, а лишь о направлении света, поэтому в дифракции используется расширенный принцип Гюйгенса-Френеля.


§ 3. Уравнение Эйконала

Выведем основное уравнение геометрической оптики - уравнение эйконала. Как известно любую гармоническую волну можно определить по формуле
В частности для плоской монохроматической волны

(как обычно, подразумевается действительная часть этого выражения). Фаза ПСИ называется эйконалом. В малых окрестностях по пространству и на коротких промежутках времени эйконал может быть разложен в ряд (возьмем только первые члены)

Из (1.3.2) и (1.3.3) следует

Компоненты волнового 4-вектора завязаны следующим образом

(здесь подразумевается суммирование по повторяющимся индексам). Причем в вектор k в данном случае входит и время. Отсюда имеем уравнение эйконала

В гармонической волне частота постоянна и поэтому эйконал принимает вид

Поэтому уравнение эйконала для такой волны принимает вид

Волновые поверхности являются поверхностями постоянного эйконала, а лучи в каждой точке перпендикулярны к волновой поверхности. Направление лучей определяется градиентом эйконала gradψo.

Тут бы вспомнить про т.н. оптико-механическую аналогию, однако здесь существует одна проблема. У оптико-механической аналогии существует естественно оптическая и механическая сторона, т.е. для того, чтобы ее понять нужно кое-что знать о механике и кое-что об оптике. Но например студенты оптических кафедр бауманки имеют парадоксальное образование для этих целей. Они не знают механику вообще, а оптику недостаточно для того, чтобы понять о чем речь (т.е. надо знать уравнение эйконала). Но я думаю, что следует об этом упомянуть для общего развития. В механике существует принцип наименьшего действия, который схож с принципом Ферма. Он гласит, что из всех возможных траекторий между точками А и В система движется по той интеграл по которой от некоторой функции (называемой функцией Лагранжа) принимает экстремальное значение.

Отсюда следуют уравнения Лагранжа

Функция Лагранжа при этом имеет вид L=T-U, где T - кинетическая энергия системы, U - потенциальная. Функция Лагранжа полностью характеризует механическую систему. q - это обобщенные координаты (это набор величин полностью характеризующих положение механической системы; число их определяется числом степеней ее свободы - для простоты можно мыслить что это просто координаты). Точки обозначают производные по времени. Поэтому производная по времени от обобщенной координаты есть обобщенная скорость. Однако можно описывать систему не только в обобщенных координатах и скоростях, но также и в обобщенных координатах и обобщенных импульсах. Тогда уравнения будут записаны в терминах Гамильтониана H=T+U (т.е. это полная энергия). Тогда можно записать уравнения Гамильтона.

и связь между имульсами и скоростями с одной стороны и функцией Гамильтона с другой, дается соотношениями

\vec \dot p = - \frac{\partial H}{\partial \vec r} \qquad \vec \dot r =  \frac{\partial H}{\partial \vec p}

Теперь можно провести аналогию между системой (1.3.4) и (1.3.11). Как видно

\dot {\vec k} = - \frac {\partial \omega} {\partial \vec r} \qquad \dot  {\vec r} =\frac {\partial \omega} {\partial \vec k}

т.е. k - это импульс, ω - функция Гамильтона.

В этом заключается суть оптико-механической аналогии. Раз есть аналогии такого свойства, то можно их немного продлить. Т.е. утверждение эквивалентное принципу наименьшего действия (1.3.8) будет принцип Ферма, который в данных обозначениях примет вид

\delta \psi = \int \vec k d \vec l=0 \eqno(1.3.13)

как видно, эйконал имеет смысл действия в оптико-механической аналогии, т.е. это фундаментальное понятие.

Однако, увы, для геометрической оптики становится невозможным запись фунции Лагранжа в силу того, что она тождественно равна нулю.


Заключение

Ну вот и всё. Сказочке конец, а кто слушал - молодец. Особенно до конца. В следующем выпуске речь пойдет о линзах и о том, что такое оптическая система и с чем ее едят. Возможно при этом продолжится разбиение на простую и сложную часть. Пока еще я не решил.

Литература

1. Ландсберг Г.С. Оптика. - 6-е изд. - М.:Физматлит, 2003. - 848 с.
2. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Т.2. Теория поля. - М.:Физматлит, 2006. - 536 с.
3. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике т. 3
4. Трофимова Т.И. Курс физики. - 15-е изд. - М.: Академия, 2007. - 560 с.


  • Current Location: Дома
  • Current Mood: accomplished done!
Научно, а главное, популярно.
спасибо и ждём продолжения.
отлично, пропиарю и добавлю в мемориз.

стыдно признаться, но я с детства не очень хорошо чувствую дифракционные решётки, хотя задач на эту тему перешал много. как там получается дифракционная картина и зачем они вообще нужны? думаю, я такой не один. если б вы этот опрос популярно на пальцах затронули, многим легче стало бы.
Осилил :). Стиль понравился, все сразу ясно! Разве что в параграфе три про четырех-векторы хотелось бы чуток подробнее. Жду продолжения, там наверное для меня будет куда больше нового :). С наступающим!
Спасибо. Весьма интересно.

Пара замечаний.

1. Что есть уравнение 1.5 я не понял. Вероятно, просто не правильно поставлен номер и имеется ввиду предыдущее (не нумерованное).
2. Вот эту часть: "Компоненты любого 4-вектора завязаны следующим образом...(здесь подразумевается суммирование по повторяющимся индексам). Причем в вектор k в данном случае входит и время. Отсюда имеем уравнение эйконала" никак не могу понять.
1-ое исправил, со 2-м думаю как исправить, чтобы не засрать всем мозги.