Dr B Mad

Немного научпопа. Аттрактор Лоренца

Я тут заметил, что многие не задумываются даже насколько простыми могут казаться довольно сложные вещи. К примеру, некоторые считают, что для того, чтобы модель описывала какие-то содержательные явления она должна быть очень сложной.
Тут я всегда вспоминаю аттрактор Лоренца, который получен из очень по сути дела простой динамической системы.
Пусть есть система дифференциальных уравнений для трех функций x,y,z, каждая из которых зависит только от одного параметра t. Точками обозначены производные по этому параметру.
Вот такая простая система. Однако, вот какое решение она имеет (это при r=60).
Прошу любить и жаловать. Аттрактор Лоренца. Это, кстати, физически очень глубокая вещь и относится к вопросам моделирования хаоса.

upd. (13:02 03/12/2009). По осям координат отложены x(t), y(t) и z(t).

upd (22:58 03/12/2009). В связи с тем, что тема вызвала "общественный резонанс" :), которого я, признаться, совершенно не ожидал, то я решил привести более аккуратную картинку, пока не навалили крючкотворы и не стали придираться. В классическом смысле под аттрактором Лоренца понимается решение системы при r=28. Оно не сильно отличается от приведенного, но чуть более аккуратное - это еще связано с выбором начальных условий.
Рис. Аттрактор Лоренца
может, я тупой, но я не понял: что отложено по осям координат на втором рисунке?
x,y,z как функции от t. Параметрический график. Вы правы, надо будет пояснить в тексте.
кстати, если я не ошибаюсь, х(t) - это функция, а не переменнная. я ни разу не видел, чтобы функцию можно было откладывать по оси координат. видимо, это какие-то тонкие математические материи.
А параметрические зависимости Вам никогда не встречались? Ведь они сплошь и рядом в механике. Например график зависимости скорости частицы от ее положения.
да, конечно, в механике параметрические функции часто встречаются. например, студенты втузов часто проводят практические занятия по по сборнику заданий под ред. яблонского, и там такие функции встречаются, например, в задаче к1.

но откладывать по оси х(t) я бы не стал.

вообще, сильные учёные часто забывают, что те, для кого они пишут науч-поп и учебные статьи и учебники не являются такими же как они, и не всегда правильно воспримут пренебрежение строгостью изложения. вот академик арнольд, выдающийся учёный и с недавних пор лауреат гос.премии, в одной из своих статей написал, что число рейнольдса - это величина обратная вязкости. мы то с вами понимаем, что в принципе это верно, но строго говоря, это ошибка. а вот какой-нибудь учащийся прочитает эту статью, и так и напишет Re=1/ню. Это плохо. спрашивается, нафига это делать?
но откладывать по оси х(t) я бы не стал.

Почему? А с фазовыми пространствами (или там с пространствами состояний, как их иногда называют) Вы не сталкивались? Они вообще крайне часто используются в вопросах механики особенно, когда интересуются устойчивостью систем.

вот академик арнольд, выдающийся учёный и с недавних пор лауреат гос.премии, в одной из своих статей написал, что число рейнольдса - это величина обратная вязкости. мы то с вами понимаем, что в принципе это верно, но строго говоря, это ошибка. а вот какой-нибудь учащийся прочитает эту статью, и так и напишет Re=1/ню. Это плохо. спрашивается, нафига это делать?

Потому что он математик. И на физику смотрит под своим углом зрения. Которая, конечно, с точкой зрения физиков не совпадает. Хотя тут тяжело говорить - я статью-то не видел и не знаю о чем речь точно.
нет, с фазовыми пространствами не встречался, и вопросами устойчивости не занимался. но мне кажется, это не совсем уже науч-поп.

ссылку на статью арнольда поищу. давно я её читал. дословно там было написано "...вязкость (или обратная ей величина число рейнольдса)...". ну почти дословно.
По оси координат откладывают числа (действительные). А любое число может быть значением какой-нибудь функции (пожалуй, что даже бесконечного множества функций).
Знаете, я гуманитарий, но мне понравилось изображение с точки зрения философии. Один только вопрос: график имеет две конечные точки?
Ну простите идиотку, ладно?
Вы имеете в виду, что эта кривая начинается в одной точке и заканчивается в другой (и что это всего одна кривая)? Если я правильно это понял, тогда ответ положительный.
По-видимому, график должен быть бесконечный в обе стороны, если t меняется от -бесконечности до +бесконечности.
"насколько простыми могут казаться довольно сложные вещи."
и насколько же иногда сложными могут казаться на первый взгляд простые вещи...
А у этих 3-х уравнений, есть какое-нибудь физическое соотвествие?
Как придумали все эти коэффициенты: -8/3, -10, 10?

Или это так просто не расскажешь?
:-)
О, конечно. Их куча. Вот неплохо написано тут

Вот, к примеру, прямо оттуда

Эта система вначале была введена как первое нетривиальное галёркинское приближение для задачи о конвекции морской воды в плоском слое, чем и мотивировался выбор значений σ, r и b, но она возникает также и в других физических вопросах и моделях:
  • Конвекция в замкнутой петле
  • Вращение водяного колеса
  • Модель одномодового лазера
  • Диссипативный осциллятор с инерционной нелинейностью.
Благодарю вас. Хорошая ссылка - как раз для меня.

Тема мне интересна, только я не пойму пока с какой стороны.
Видимо с какой-то третьей.

Но знаний математики не хватает...
При чём интересно, что мне было не трудно учить математику в своё время, однако, крайне трудно было научится связывать её с реальными явлениями...

Вот сейчас страдаю. :-)
Я почему-то не вижу картинок вообще. Пользуюсь Мозиллой. Что посоветуете?
Это глюки в ЖЖ ночью были - картинки, которые загружены на его сервер не видны были. Сейчас должно быть нормально.