Dr B Mad

Фазовый портрет осциллятора (или еще одна запись, чтобы взорвать всем мозг)

Еще одна сказка на ночь для детей младшего научного возраста.

Как известно, уравнение гармонического осциллятора

(опустим здесь всякие частоты, это, в сущности, не важно) есть линеаризованное уравнение колебаний (при условии, что x мало), которое имеет вид

Очевидно, что при малом x синус можно линеаризовать.
Как выглядят фазовые портреты этих уравнений и чем они отличаются?
Вот примерно так выглядит фазовый портрет уравнения обычного осциллятора.


Собственно, единственное, о чем он говорит - это о том, что процесс периодический и вполне себе устойчивый.

Вот так выглядит фазовый портрет нелинеаризованного уравнения
Фазовый портрет
Как видно, в окрестности нуля он очень близок к окружностям, но по мере удаления от нуля фазовые траектории приобретают более интересный вид и в конце концов периодичность как бы теряется. Т.е. по достижении определенной скорости процесс перестает быть периодическим (теряется замкнутость кривых). Т.е. качели совершают полный оборот.

Отсюда мораль - знает кошка, чье мясо съела знай предел линеаризации.
Tags:
[забрёл вот к вам]
знай предел... или условия линеаризации
кстати, если перейти во вращающуюся систему координат, то, получается, там таки ещё будут колебания. и, судя по графику, чем выше скорость, тем меньше их амплитуда
Это я понял. Я имел в виду какой это был курс.
Ну почему конечно же?
А каким образом в рамках ОДУ Вы построили этот фазовый портрет?
Потому что сам объект - это обыкновенное дифференциальное уравнение. :)

...которое никакого интереса не представляет как дифференциальное уравнение. Я бы не удивился, если бы это было в курсе класмеха.

А фазовый портрет для этого уравнения был иллюстрацией на лекции, посвященной фазовым портретам (если мне не изменяет память). И преподаватель как раз говорил про разницу приведенных двух уравнений.

Гораздо интереснее как Ваш преподаватель его построил. Я знаю как его можно качественно построить с использованием методов механики. Ну или численно, разумеется.
Да там можно и без векторного поля обойтись, и получить вполне явную зависимость. Причем как из физических соображений, так и без них.
Что-то Вы замолчали. На самом деле это просто.