October 17th, 2009

Dr B Mad

Фазовый портрет осциллятора (или еще одна запись, чтобы взорвать всем мозг)

Еще одна сказка на ночь для детей младшего научного возраста.

Как известно, уравнение гармонического осциллятора

(опустим здесь всякие частоты, это, в сущности, не важно) есть линеаризованное уравнение колебаний (при условии, что x мало), которое имеет вид

Очевидно, что при малом x синус можно линеаризовать.
Как выглядят фазовые портреты этих уравнений и чем они отличаются?
Вот примерно так выглядит фазовый портрет уравнения обычного осциллятора.


Собственно, единственное, о чем он говорит - это о том, что процесс периодический и вполне себе устойчивый.

Вот так выглядит фазовый портрет нелинеаризованного уравнения
Фазовый портрет
Как видно, в окрестности нуля он очень близок к окружностям, но по мере удаления от нуля фазовые траектории приобретают более интересный вид и в конце концов периодичность как бы теряется. Т.е. по достижении определенной скорости процесс перестает быть периодическим (теряется замкнутость кривых). Т.е. качели совершают полный оборот.

Отсюда мораль - знает кошка, чье мясо съела знай предел линеаризации.