Seldom_walking

О роли математики в физике

Есть много разговоров о роли математики в физике. В последнее время в некоторых кругах модно считать, что математика всю физику, собственно, определяет. И даже более того, что вся физика из математики следует. Есть, впрочем, и всякие фрики, которые считают, что математику из физики нужно изгнать, но это уже совсем экзотика. Физика есть разная, как и физики. Я здесь попробую изложить свою расплывчатую точку зрения на взаимоотношения этих двух наук.

Итак, если развивать точку зрения о математике как первоисточнике физики, то получается, что многие физики просто плохо знают математику, поэтому пользуются своими "странными" методами вместо того, чтобы точно решать уравнения (не обязательно речь об уравнениях, но для простоты положим, что это так). Ведь они часто делают такие фокусы - здесь покрутят, там повертят, вот и ответ уже очевиден. А уравнение-то строго никто не решал. Это называется качественными рассуждениями. Здесь, правда, имеется очевидное возражение. А может быть эти физики просто не знают математики, вот и придумывают какие-то громоздкие обходные маневры, позволяющие решать задачи? А на самом деле все можно и нужно сделать строго математически.
С другой стороны, некоторая (и совсем немалая) часть математики возникла из потребностей физики. И, вообще говоря, часто физики что-то вводили, а математики потом наводили строгость. Ньютон ввел основные понятия анализа и стал ими пользоваться. Обоснование пришло много позже. Дирак ввел дельта-функцию, которая была сугубо "физической". Математики ее долго не признавали, а потом придумали как ее определять строго. Впрочем, физики нередко продолжают ее вводить так (по-дираковски), что математикам это поперек горла встает. Но ведь, с другой стороны, что значит тот факт, что физика породила какие-то математические понятия, ведь она же без них после этого не может обойтись.
Так каково же соотношение между физикой и математикой? Мнение одного знакомого профессора физики сводится к тому, что физика - это своеобразная философия на языке математики. Это значит, что самой математики недостаточно, нужно что-то еще. Интерпретация, смыслы. Иными словами, прежде чем писать уравнения, нужно сначала понять физику. И наоборот - когда получены формулы, с точки зрения физики это еще ничего не значит. И именно это отличает физика от специалиста по математическому моделированию.
Действительно, любопытно задуматься, что же изучают физики? Например, классическая механика на языке математики это  просто уравнения Лагранжа (или Гамильтона) и пара соотношений, которые связывают их с физическими величинами. Казалось бы, пара уравнений, зачем же их изучать один (а то и два) семестра? Тот же случай с теорией электромагнитного поля. Что это? Уравнения Максвелла и больше ничего. И тоже семестр или два туда же. А если еще вспомнить, что то же самое, но с другой стороны, изучалось на общей физике, то и вообще становится странно. А ведь еще в ходе обучения решалось бесчисленное множество задач... Выходит, что недостаточно просто знать уравнений. Нужно еще уметь их применять. И физики учаться применять одно уравнение в течении полугода, потому что нельзя просто взять и написать его, этого недостаточно.
То, что тут написано кому-то может на первый взгляд показаться совершенно очевидным, а кто-то даже подумает "А как же иначе-то бывает?". На самом деле очень даже бывает. И часто пишутся статьи, где рассматривается какая-то общая математическая модель, решаемая численно. Что при этом получается с точки зрения физики - не очень ясно.
С другой же стороны некоторые физики буквально пытаются изнасиловать математику так, чтобы она описывала ту физику, которую они хотят. Это, конечно, уже не совсем физики, потому что такие попытки попросту ведут к псевдонауке.
А физика где-то посередине между этими крайностями. Но отклониться от этой середины очень легко.
Странно, что вы пишите, прол добавление интерпретаций и смыслов, но ничего не пишите про главное- эмпирические данные.
Потому что они не связаны с математикой. В целом я подразумевал теоретическую физику, поскольку такие вопросы только там возникают.
Ну то странно. И теоретическая физика от эмпирики отталкивается, и эмпирикой в конечном итоге проверяется. Откуда у теоретиков исходные данные чтобы выстраивать свои дедукции? О чем физика делает качественные суждения? Связь с эмпирикой -главное отличие универсальной и абстрактной математики от конкретной физики.
  1. Я бы не сказал, что теории от эмпирики отталкиваются, они скорее эмпирическими фактами провоцируются. И эмпирикой также проверяется в определенном смысле. Например, эмпирикой можно проверить некоторые следствия из теории. Но разные теории могут давать одинаковые проверяемые следствия. Но это мы говорим о создании новых теорий, новых парадигм. Мы уже многие десятилетия живем в мире установившихся фундаментальных законов, большая часть которых проверена эмпирически более ста лет назад. Если бы все было так завязано на эмпирику, то физики-теоретики давно остались бы без работы.
  2. Что касается исходных данных для теорий, то, предположим, что они эмпирические. Возьмем несколько эмпирических фактов и возведем их в ранг аксиом. Всё, на этом связь с эмпирикой можно считать законченной. Далее из них выводим логические следствия. Так, к примеру, построена т.н. теоретическая механика (не путать с классической механикой) - в ней взято пять аксиом, из которых чисто математически выводятся все законы механики (см., например, учебник теоретической механики под ред. акад. К.С. Колесникова). Подчеркиваю, что теория построена, исходя из пяти истинных (в каком-то смысле!) утверждений. Все законы и основные содержательные утверждения выведены чисто математически.
    Следующий пример - специальная теория относительности. Базируется на двух постулатах, которые сформулировал Эйнштейн. Эти постулаты не следовали ни из какого эксперимента и вообще совершенно не очевидны. Просто требовались аксиомы.
    Про общую теорию относительности я даже и заикаться не буду. Единственный эмпирический факт, которым она была спровоцирована - смещение перигелия Меркурия. ОТО дала поправку в 0.77% по сравнению с общей скоростью прецесии. Но кому бы пришло в голову строить такой математический аппарат из-за этого факта?
  3. Теперь, что касается проверки. Возьмем ту же ОТО, которой я закончил предыдущий пункт. Эта теория существует уже почти 100 лет и ей все пользуются и все доверяют. В то же время никакой прямой проверки ОТО пока не существует. Есть проверки т.н. постньютоновских поправок, но это только первый член в разложении. Сама ОТО более прямой проверки еще не получила.
  4. Таким образом, я хочу сказать, что несмотря на представления некоторых людей, физические теории в известной степени далеки от эмпирического мира. В рамках этих теорий есть два типа суждений - строго математические и физические, о которых я и пишу. Миллион новых значимых научных фактов могут быть получены из существующих законов чистым использованием этих рассуждений. Конечно, все правила хорошего тона требуют их эмпирической проверки*. Но это не имеет ничего общего с наивными представлениями о том, что физика черпает идеи на лабораторном столе и лабораторным же столом и заканчивается.

    *) хотя и это тоже вопрос, требующий ряда оговорок. Например, своеобразная теория метаматериалов с отрицательным показателем преломления была построена в 1967 году, но никто тогда таких материалов не видел. Но статья же была опубликована. А проверили это только недавно.
Любопытна ваша фраз: "физические теории в известной степени далеки от эмпирического мира"
Зачем эта оговорка: " в известной степени"? Почему бы прямо не написать: "физические теории далеки от эмпирического мира"? Да потому, что вы прекрасно знаете, что это не верно. Поэтому эта уклончивая формулировка- которая, в известной степени совершенно неверна.
Пример с теор. механикой любопытен тем, что вы взяли действительно самую абстрактную физическую дисциплину. Возьмите любую другую - и там уже будет все далеко не все так очевидно. Вы пытаетесь охарактеризовать все явление ( физика) по ее экстремальному, пограничному случаю. Между тем, вспомним мехмат- и увидим, что даже институционально теормеханика отделилась от физики, и присоединилась к математике. Впрочем, даже теормеханика базируется на аксиомах, примерно соответствующих эмпирическим наблюдениям.
Про ОТО мне трудно судить, но попытка погуглить "экспериментальные подтверждения теории относительности" дают богатый урожай. Впрочем, дело не в этом, а в том, что ОТО нуждается в этих подтверждениях, и их отсутствие может быть воспринято как ее сабое место, которым рано или поздно воспользуются враги.
Что касается теории суперструн- эта теория, как я понимаю, в явном тупике, и ее процветание есть чисто социальный, вненаучный феномен. Вырождение в теории суперструн в некое подобие математики, по гамбургскуму счету - ее поражение. Арнольд называл т.суперструн "пятым колесом математики". Именно из-за таких случаев Капица говорил, что имеется страшная нехватка экспериментаторов и пора начать отстрел теоретиков.
Про случай с теорией метаматериалов. Не важно, сколько лет ждали проверки. Главное, что ждали. А в математике ее не ждут.
Да, существуют физики, рождающие идеи из формул. Но их существование не прерывает общую органическую связь физики с эмпирией.
Любопытна ваша фраз: "физические теории в известной степени далеки от эмпирического мира"
Зачем эта оговорка: " в известной степени"? Почему бы прямо не написать: "физические теории далеки от эмпирического мира"? Да потому, что вы прекрасно знаете, что это не верно.
Ну почему же. Я достаточно детально описал в чем суть вопроса, и почему я так считаю и что именно я считаю. Я не люблю писать в пустоту, поэтому мне довольно грустно в ответ на это получать ответ "в общем".
Пример с теор. механикой любопытен тем, что вы взяли действительно самую абстрактную физическую дисциплину. Возьмите любую другую - и там уже будет все далеко не все так очевидно.
Хорошо, давайте возьмем теорию поля, квантовую механику или квантовую электродинамику. В чем будет отличие?
Про ОТО мне трудно судить, но попытка погуглить "экспериментальные подтверждения теории относительности" дают богатый урожай
Ну если вы в этом разбираетесь настолько, чтобы верить тому, что написано в гугле, то вам не составит труда привести прямое экспериментальное подтверждение ОТО, а не постньютоновских поправок.
Вырождение в теории суперструн в некое подобие математики, по гамбургскуму счету - ее поражение. Арнольд называл т.суперструн "пятым колесом математики".
При всем моем уважении к В.И., в этом вопросе он некомпетентен.
Про случай с теорией метаматериалов. Не важно, сколько лет ждали проверки. Главное, что ждали.
Ждали не столько проверки, сколько появления соответствующих материалов.
5. Да и еще. Есть ведь ряд физических теорий, которые к реальности пока никакого отношения не имеют. Разнообразные "теории всего", например, теория струн. Есть ряд ответвлений в теориях, развивающих те или иные абстрактно-физические направления.

p.s. А, между прочим, что вы имеете в виду, говоря про универсальную и абстрактную математику и конкретную физику?
"Есть ведь ряд физических теорий, которые к реальности пока никакого отношения не имеют"
Именно "пока". Это "Пока" - конструктивный элемент самого устройства физики как науки.
Ну вот когда это случится, тогда можно будет и поговорить. А пока это просто "ля-ля".
Это неоднозначный вопрос. Какие теории вы, например, имеете в виду?
Неоднозначный - значит толкующийся в обе стороны. Да, я читал Поппера про отсутствие окончательного подтверждения теорий, но Попперу бы и в страшном сне бы не привиделось, что из этого бы следовало умозрительный характер физики.
Странно.... Разве о курицах и яйцах не говорилось?
С.П. Новиков. Вторая половина XX века и ее итог: кризис физико-математического сообщества в России и на Западе // Вестник ДВО РАН, 2006, вып. 4. С. 3-22
http : // eqworld . ipmnet . ru/ru/info/sci-edu/Novikov2006 . htm
Математика самостоятельно может развиваться дальше только на некоем базе, который ей дает природа вещей и событий, как естественная, так и рожденная человеком - т.е. не только физика дает пищу математике, задача которой - работа с закономерностями.


Edited at 2012-09-24 03:14 pm (UTC)
Дополнительная проблема CFD, которая сильно связывает эту область с экспериментом - это та самая первая буква С. Потому что численные решения это вообще вещь в себе. Когда мы получаем то или иное численное решение (особенно в какой-то сложной области), то экспериментом мы часто не столько проверяем физику, сколько правильность самого численного решения и исходных допущений, которые мы заложили.
> О роли математики в физике

По этому поводу взгляды многих современных теоретиков берут своё начало от идеи, предложенной Дираком, который охарактеризовал роль математического аппарата в физике довольно ясно. Вот, к примеру, достаточно прочитать первые два абзаца этой статьи: Dirac P A M 1931 Quantised singularities in the electromagnetic field Proc. R. Soc. Lond. A 133 60–72 (прямая ссылка: http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/133/821/60.full.pdf+html).