Dumbledore upset

Слабый уровень ЕГЭ

Порешал тут на сон грядущий демонстрационные варианты ЕГЭ по физике и математике. Все-таки, так нельзя. Ну слишком это просто. Для поступления в вуз просто. Для классического выпускного экзамена сложно. Но надо не искать компромиссы, а выходить из этого положения.
Почему они вдруг решили, что ЕГЭ должны в среднем писать хорошо? А никто не задумывался, что бы было, если бы во времена нашего "лучшего в мире советского образования" (с) все выпускники школ резко бы пошли сдавать вступительные экзамены по математике, ну скажем, в тот же МИСиС или в МВТУ. Я думаю, что уровень нонешнего ЕГЭ примерно соответствует письменным экзаменам тех лет. Полагаю, что процентов 30 сразу бы этот экзамен и завалили.

Ну а все же. Вот пример задачки из части С демонстрационного варианта 2012 года, которая по математике стояла последним номером (за нее давалось максимальное количество баллов).
На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −3 , среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Может быть для первой задачи в олимпиаде среди банды слепоглухонемых имбецилов в состоянии алкогольного опьянения такая штука бы и прошла. Но тут как-то неудобно даже. Задача решается практически устно при помощи одной извилины.
С физикой дела примерно такого же пошиба, основная разница в том, что там очень большая тестовая часть. Задачи, где вообще нужна ручка и бумага, идут только в части С. Все перед этим устное.
А у меня что-то не выходит. Пусть количество положительных Np, количество отрицательных Nn. Сумма всех положительных Sp = 4 Np, сумма всех отрицательных Sn = -8 Nn. Сумма всех Sp + Sn = -3(Np + Nn) = 4 Np - 8 Nn. Отсюда 5 Nn = 7 Np, поскольку 5 и 7 взаимно просты, то Nn/7 = Np/5, т.е. Nn = 7 x, Np = 5 x с целым x. Количество всех чисел тогда Np + Nn = 12 x и попасть в интервал между 40 и 48 не удается.
Нули... Тогда надо думать. Хорошо, что мне экзамен не сдавать.
Нет, конечно, задача требует 15 минут предварительного размышления. Это ж последняя задача в ЕГЭ! Это должен быть уровень физико-математических вузов.

Для сравнения вот задача 2004 года с вступительного экзамена на механико-математический факультет МГУ
Дорога проходит последовательно через пункты А В, С и D . Расстояние от А до В равно 24 км. Из А в D выехал с постоянной скоростью автомобиль. Одновременно с ним из В в D отправились с постоянными скоростями велосипедист и мотоциклист. Когда автомобиль догнал велосипедиста, мотоциклист обгонял их на б км. В пункте С автомобиль догнал мотоциклиста, и доехав до D , сразу поехал обратно в А, встретившись с велосипедистом во второй раз в С. Найти расстояние между В и С, если известно, что время от начала движения до момента повторной встречи автомобиля и велосипедиста в два раза больше, чем время от начала движения до того момента, когда автомобиль впервые догнал мотоциклиста.
Формулировка, конечно, ужасная, но, в итоге, это некоторая геометрическая задача - разглядеть в куче треугольников как их стороны выражаются через известные (там, в итоге, все расстояния можно найти). Она, понятно, сложнее задачи с числами, потому что ту можно добить переборами (уравнение (6) получается мгновенно), но с учетом моей полной отключки, когда речь заходит о диофантовых уравнениях, я бы предпочел ковыряться с треугольниками.
Сможете решить? :)

Что касается ЕГЭ, там нет почти никакого перебора. Я там внизу прокомментировал. Диофантовы уравнения это, все-таки, нечто более серьезное. Здесь это на уровне детского лепета.
Получилось 48/5 км. Самой творческой частью в это время утра для меня оказалось вывести уравнение прямой по отрезкам, которые она отсекает на координатных осях (плюс потом, естественно, в вычислениях мог напортачить).

Задача оказалась чисто механической, зря про треугольники думал. Из точки с координатой -Y = - (AB + y) на оси ординат выходит прямая #1, которая пересекает ось абсцисс в точке X. Из точки с координатой -y выходит две прямых: #2 пересекает ось абсцисс в 2 Х, а #3 - в Х. Найти y, если известно насколько ордината прямой #3 отличается от ординат прямых #1 и #2 в точке их пересечения. Записываем уравнения прямых, решаем, подставляем, опять решаем. Школьники должны такие задачи решать на раз-два-три.
Ой, там, оказывается, не 4 км, а 6 (все меня с толку эта одна четверть сбивала). Тогда какой-то еще более сложный ответ получается 144/7. Наверняка где-то скобки неправильно раскрыл.
Уже было заснул, как сообразил, что и опять неправильно сосчитал, должно быть 16 км! Все же сложная штука эти числа.
Я сам задачу не решал, но ответ ваш верный. То есть вы считаете, что это проще? Тут, все-таки, надо столько условий формализовать, да еще системку решить. А там задача фактически устная.
С формализацией условий безусловно соглашусь, но здесь работает навык, которому на всех курсах общей физики, по-моему, дрессируют: рисовать графики движения. В стандартной школьной программе это тоже есть. Как только удалось нарисовать картинку, так все остальное получается само собой. Другое дело, что я там зациклился на том, что 6 это одна четверть от 24 и мне сначала казалось, что должно быть наглядное геометрическое соображение. Ответ, кстати, любопытно симпатичный. Обозначим через d расстояние, на которое мотоциклист опережает автомобиль и пешехода, когда те встретились, тогда

BC = 2 AB d/(AB - d).

Двойка здесь происходит от условия на времена. Т.е., возможно, и в самом деле есть красивое рассуждение, которое позволит этот ответ увидеть и тем самым сделать задачу практически устной, но это будет мухлеж.

В задаче с числами на доске ключевой момент - разглядеть, что полное количество чисел делится на четыре. В решении внизу это получается подстановкой (3) - (4) в (2) и после подстановки _не надо_ приводить подобные. Или же можно сразу заметить, анализируя условие. В каком-то смысле это навык, подобный рисованию графиков в задаче с путешественниками. Но в последней потом какая-то несложная, но нудноватая техника требуется, а в задаче с числами ответ просто выписывается. Я бы сказал, что обе задачи простые, но по-разному. Все же с числами я задачу с наскоку не решил :) Да и с путешественниками в конечную формулу только с третьего раза смог правильно подставить. Не люблю числа :)
я, видимо, хуже банды слепоглухонемых имбецилов в состоянии алкогольного опьянения. Но как же интересно узнать решение задачки! Напишите, пожалуйста, для двоечников специально.
Введем обзначения n -- отрицательные, z -- нули, p -- положительные, c -- число, s -- сумма.

Тогда
(1) cn + cp + cz = 41..47
(2) sn + sp + sz = -3(cn + cp + cz)
(3) sn = -8cn
(4) sp = 4cp
(5) sz = 0

Подставив (3) и (4) в (2) и сгруппировав получим диофантово уравнение: (6) 7cp + 3cz = 5cn.

Путем пристального взгляда на (6) угадываем частное решение cp = 1, cz = 1, cn = 2. Из него получаем общее:
(7) cp = k(1 + 5a), cz = k(1 + 5b), cn=k(2+7a+3b) с параметрами k, a, b. Других решений нет, так как 7 и 3 взаимно просты и cp > 0, cn > 0, cz >= 0.

Подставив (7) в (1) получим: (8) k(4+12a+8b)=41..47.

Левая часть (8) очевидно делится на 4, таким образом в левой части стоит 44, получаем: (9) k(1+3a+2b)=11, отсюда k=1 и (10) 3a+2b=10.

В (10) опять угадаем решение: a=b=2, подставив в 7 получим cp=cz=11, cn=22.

Итого ответ:
а) 44
б) отрицательных
в) 11
На мой взгляд, задача очень странная. "На пальцах" все очевидно, но вот записать решение так, что бы оно было полностью корректным совсем не просто. В частности, совершенно не очевидно, почему решение (7) единственно. В принципе, конечно, можно решить диофантово уравнение (6) перебором, но это же ужас-ужас.

Таким образом, основная проблема в оформлении. От таких задач скорее вред, а не польза. С другой стороны, "имбецилы" либо ошибуться в переборе, либо в обосновании. Так что задача явно не для них.
А зачем решать (7)? Подставляя (3),(4),(5) в (2) и с использованием (1) сразу найдем, что ответ 44 (единственный). А дальше элементарно оценивается и то, что отрицательных больше и то, что наибольшее количество целых чисел, кстати, 17. Никакого перебора и не нужно.
Я не понимаю, почему ты иронизируешь насчёт нашего советского образования. Я вот не знаю, где лучше было.
Если сравнивать уж с задачами МВТУ, то я не в курсе, какие были задачи в 80-х, например. Однако в 2000-х задачи в МВТУ были не сильно сложнее выпускных на школьном экзамене. Только 6-я задача была по стериометрии и для меня была, фактически, нерешаемой.
Беда нынешнего ЕГЭ в том, что там проверяются не столько знания, сколько аккуратность. Все первые задания, большая часть - это настолько простые задания, что потерять на них баллы можно только из-за волнения и неаккуратности.
Кстати, а ответ-то какой в задаче? У меня получилось, что 20 и 28 чисел. Стало быть, условия задачи не выполняются, если меньше и больше - не включительно.
Что-то я совсем тупой стал. Даже про нули не вспомнил.
>>Однако в 2000-х задачи в МВТУ были не сильно сложнее выпускных на школьном экзамене.
Ну вот ЕГЭ примерно этого уровня.
>>Беда нынешнего ЕГЭ в том, что там проверяются не столько знания, сколько аккуратность. Все первые задания, большая часть - это настолько простые задания, что потерять на них баллы можно только из-за волнения и неаккуратности.
ЕГЭ здесь совершенно ни при чем. На аккуратности можно было погореть на любом экзамене.
Все-таки, насчет того, что задачи в МВТУ были сродни выпускным в школе это, мягко говоря, преувеличение. Ты-то их не сдавал :) Задачи там были на порядок сложнее - к примеру, если в школьных экзаменах и были задачи с параметром (в чем я не уверен, я просто не помню), то в МВТУ они были гораздо сложнее и требовали аккуратности. Как и ЕГЭ. Поэтому я думаю, что параллель очень отчетливая. Ну а про последнюю стереометрическую задачу это да, это была просто завальная задача. Я даже по-моему знаю, кто их придумывал. Во всяком случае одного. Это технолог :)
>Все-таки, насчет того, что задачи в МВТУ были сродни выпускным в школе это, мягко говоря, преувеличение. Ты-то их не сдавал :)

Что я не сдавал? Я сдавал и экзамены в школе (ЕГЭ ещё не было) и предварительные экзамены в МВТУ (так как насчёт медали ещё были вопроса, а вот что экзамены, где нужно не столько думать, сколько аккуратно записывать могу не пройти уже догадывался). Самое смешное, что умудрился в МФТИ на предварительных экзаменых получить больше, чем в бауманке.

>Задачи там были на порядок сложнее - к примеру, если в школьных экзаменах и были задачи с параметром (в чем я не уверен, я просто не помню), то в МВТУ они были гораздо сложнее и требовали аккуратности.

Аккуратности требовали и там и там. Как раз в МВТУ были кондово-школьные требования.

>Ну а про последнюю стереометрическую задачу это да, это была просто завальная задача. Я даже по-моему знаю, кто их придумывал. Во всяком случае одного. Это технолог :)

Надови его. Можешь не беспокоится: я в Москву не скоро приеду, остыть успею. :)
Вот, кстати, вариант компоновки выпускного экзамена в школе 2003 года
Вариант выпускного экзамена по математике, 2003 год
Это может даже сложноватый вариант, не знаю, сдавали его в реальности или нет.
Классический вариант можно посмотреть в сборнике Г.В. Дорофеева Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена 11 класс . Вот он
Типовой вариант из сборника Дорофеева
А вот пример вступительного экзамена в МГТУ им. Баумана
Вариант вступительного экзамена в МГТУ им. Баумана
Хочу сказать, что разница видна невооруженным глазом.

Edited at 2012-06-11 12:14 pm (UTC)
Я тоже имбецил: промаргал нули и пришел к выводу, что задача не имеет решения, решая систему уравнений. Хотя я два раза сдавал вступительные по математике и оба раза проходил на бюджет: на ФЕН Новосибирского ГУ и на БПФ Томского ГУ соответственно в 2000 и 2001 годах.